教师招聘考察阶段通常由以下部门或机构负责考察：

招考单位人事部门：负责对考生进行面审，即实地考察考生的工作或学习单位，与考生的主管或老师进行面谈，以了解考生的具体情况。

市、县人事局、组织部：参与教师政审，通过面审或函审的方式对考生进行审查，面审包括实地考察，函审则涉及调用考生的档案进行审查。

考核小组：分赴有关单位对被考核人进行考察，这可能包括对考生的政治思想、意识形态、道德品质、能力素质、遵纪守法、工作或学习表现及个人档案等方面的全面考察。

用人单位：在某些情况下，如瑞昌市的案例，用人单位会与瑞昌市人社局、教育局共同组织考察，参照相关实施细则和程序进行。

招聘学校及县人社局、县教体局：在德安县的案例中，考察由招聘学校及县人社局、县教体局共同组织，负责对体检合格的考生进行考察。