有犯罪前科的人理论上是可以办理边防通行证的，但具体情况需要根据公安机关的审查结果来确定。根据《中华人民共和国边境管理区通行证管理办法》第十四条的规定，以下几种情况下公安机关不予受理边防通行证的申请：

刑事案件的被告人和公安机关、国家安全机关、人民检察院或者人民法院认定有犯罪嫌疑的人员；

被判处刑罚正在服刑的人员；

正在被劳动教养的人员；

公安机关认为不宜前往边境管理区的人员。

因此，如果一个人仅仅有犯罪记录，但并不属于上述情况，那么他们是可以申请办理边防通行证的。但如果公安机关在审查过程中认为申请人不宜前往边境管理区，那么可能会不予办理123。